Integral von $$$e^{- x y}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{- x y}\, dx$$$.

Sei $$$u=- x y$$$.

Dann $$$du=\left(- x y\right)^{\prime }dx = - y dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - \frac{du}{y}$$$.

Das Integral wird zu

$${\color{red}{\int{e^{- x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=- \frac{1}{y}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{y}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- x y$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x y\right)}}}}{y}$$

Daher,

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{- x y}\, dx = - \frac{e^{- x y}}{y} + C$$$A