Intégrale de $$$e^{- x y}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{- x y}\, dx$$$.

Soit $$$u=- x y$$$.

Alors $$$du=\left(- x y\right)^{\prime }dx = - y dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{du}{y}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{e^{- x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{y}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{y}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

Rappelons que $$$u=- x y$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x y\right)}}}}{y}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{- x y}\, dx = - \frac{e^{- x y}}{y} + C$$$A