Ολοκλήρωμα της $$$e^{- x y}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int e^{- x y}\, dx$$$.

Έστω $$$u=- x y$$$.

Τότε $$$du=\left(- x y\right)^{\prime }dx = - y dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = - \frac{du}{y}$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{e^{- x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=- \frac{1}{y}$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{y}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- x y$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x y\right)}}}}{y}$$

Επομένως,

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{- x y}\, dx = - \frac{e^{- x y}}{y} + C$$$A