$$$e^{- x y}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{- x y}\, dx$$$。

令 $$$u=- x y$$$。

則 $$$du=\left(- x y\right)^{\prime }dx = - y dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - \frac{du}{y}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{- x y} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{y}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{y}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{y}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{y} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{y}$$

回顧一下 $$$u=- x y$$$：

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{y} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x y\right)}}}}{y}$$

因此，

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- x y} d x} = - \frac{e^{- x y}}{y}+C$$

$$$\int e^{- x y}\, dx = - \frac{e^{- x y}}{y} + C$$$A