Integral von $$$e^{- u}$$$

Bestimme $$$\int e^{- u}\, du$$$.

Sei $$$v=- u$$$.

Dann $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$du = - dv$$$.

Somit,

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Zur Erinnerung: $$$v=- u$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

Daher,

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A