Intégrale de $$$e^{- u}$$$

Déterminez $$$\int e^{- u}\, du$$$.

Soit $$$v=- u$$$.

Alors $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = - dv$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Rappelons que $$$v=- u$$$ :

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A