Integralen av $$$e^{- u}$$$

Bestäm $$$\int e^{- u}\, du$$$.

Låt $$$v=- u$$$ vara.

Då $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$du = - dv$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Kom ihåg att $$$v=- u$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A