Funktion $$$e^{- u}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{- u}\, du$$$.

Olkoon $$$v=- u$$$.

Tällöin $$$dv=\left(- u\right)^{\prime }du = - du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$du = - dv$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{e^{- u} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Muista, että $$$v=- u$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\left(- u\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{- u} d u} = - e^{- u}+C$$

$$$\int e^{- u}\, du = - e^{- u} + C$$$A