Integral von $$$- e^{2 x}$$$

Bestimme $$$\int \left(- e^{2 x}\right)\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{2 x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{2 x} d x}\right)}}$$

Sei $$$u=2 x$$$.

Dann $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$$- {\color{red}{\int{e^{2 x} d x}}} = - {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$$- {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Zur Erinnerung: $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}}{2}$$

Daher,

$$\int{\left(- e^{2 x}\right)d x} = - \frac{e^{2 x}}{2}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\left(- e^{2 x}\right)d x} = - \frac{e^{2 x}}{2}+C$$

$$$\int \left(- e^{2 x}\right)\, dx = - \frac{e^{2 x}}{2} + C$$$A