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Implizite Ableitung von $$$y^{2} = 10 x$$$ nach $$$x$$$
Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2} = 10 x\right)$$$.
Lösung
Leite beide Seiten der Gleichung getrennt ab (betrachte $$$y$$$ als Funktion von $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(10 x\right)$$$.
Leite die linke Seite der Gleichung ab.
Die Funktion $$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ mit $$$n = 2$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.
Leite die rechte Seite der Gleichung ab.
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 10$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(10 x\right)\right)} = {\color{red}\left(10 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$10 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 10 {\color{red}\left(1\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(10 x\right) = 10$$$.
Daher haben wir die folgende lineare Gleichung bezüglich der Ableitung erhalten: $$$2 y \frac{dy}{dx} = 10$$$.
Beim Lösen ergibt sich, dass $$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$.
Antwort
$$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$A