|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$y^{2} = 10 x$$$'nin $$$x$$$'e göre örtük türevi
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2} = 10 x\right)$$$.
Çözüm
Denklemin her iki tarafını ayrı ayrı türevleyin ($$$y$$$'yi $$$x$$$'in bir fonksiyonu olarak düşünün): $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(10 x\right)$$$
Denklemin sol tarafının türevini alın.
$$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$$$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ şeklindeki kuvvet kuralını $$$n = 2$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.
Denklemin sağ tarafının türevini alın.
Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 10$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(10 x\right)\right)} = {\color{red}\left(10 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$10 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 10 {\color{red}\left(1\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(10 x\right) = 10$$$.
Dolayısıyla, türeve göre aşağıdaki doğrusal denklemi elde ettik: $$$2 y \frac{dy}{dx} = 10$$$.
Çözdüğümüzde $$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$ sonucunu elde ederiz.
Cevap
$$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$A