|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Impliciete afgeleide van $$$y^{2} = 10 x$$$ naar $$$x$$$
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2} = 10 x\right)$$$.
Oplossing
Differentieer afzonderlijk beide zijden van de vergelijking (beschouw $$$y$$$ als een functie van $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(10 x\right)$$$.
Differentieer het linkerlid van de vergelijking.
De functie $$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ en $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.
Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.
Differentieer het rechterlid van de vergelijking.
Pas de regel van de constante factor $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ toe met $$$c = 10$$$ en $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(10 x\right)\right)} = {\color{red}\left(10 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$10 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 10 {\color{red}\left(1\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(10 x\right) = 10$$$.
Daarom hebben we de volgende lineaire vergelijking in de afgeleide verkregen: $$$2 y \frac{dy}{dx} = 10$$$.
Door het op te lossen, verkrijgen we $$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$.
Antwoord
$$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$A