$$$x$$$ に関する $$$y^{2} = 10 x$$$ の陰関数微分

$$$\frac{d}{dx} \left(y^{2} = 10 x\right)$$$ を求めよ。

方程式の両辺をそれぞれ微分せよ ($$$y$$$ を $$$x$$$ の関数として扱う): $$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(10 x\right)$$$

方程式の左辺を微分せよ。

関数$$$y^{2}{\left(x \right)}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$と$$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:

冪法則 $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ を $$$n = 2$$$ に対して適用する:

元の変数に戻す:

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$。

方程式の右辺を微分する。

定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = 10$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用します:

$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(10 x\right) = 10$$$。

したがって、導関数に関する次の線形方程式が得られた：$$$2 y \frac{dy}{dx} = 10$$$。

これを解くと、$$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$ となる。

$$$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{y}$$$A