$$$e^{\frac{x}{3}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{3}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 3 du$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{3}$$$：

$$3 e^{{\color{red}{u}}} = 3 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 e^{\frac{x}{3}} + C$$$A