Intégrale de $$$e^{\frac{x}{3}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{3}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 3 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=3$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{3}$$$ :

$$3 e^{{\color{red}{u}}} = 3 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 e^{\frac{x}{3}} + C$$$A