$$$e^{\frac{x}{3}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{3}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 3 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{3}$$$:

$$3 e^{{\color{red}{u}}} = 3 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 e^{\frac{x}{3}} + C$$$A