$$$e^{\frac{x}{3}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx$$$。

设$$$u=\frac{x}{3}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{3}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = 3 du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=3$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{3 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{3}$$$:

$$3 e^{{\color{red}{u}}} = 3 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{x}{3}} d x} = 3 e^{\frac{x}{3}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 e^{\frac{x}{3}} + C$$$A