$$$e^{\frac{t}{50}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt$$$。

令 $$$u=\frac{t}{50}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{t}{50}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{50}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = 50 du$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{50}} d t}}} = {\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=50$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$50 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 50 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{t}{50}$$$：

$$50 e^{{\color{red}{u}}} = 50 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{50}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt = 50 e^{\frac{t}{50}} + C$$$A