$$$e^{\frac{t}{50}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt$$$。

设$$$u=\frac{t}{50}$$$。

则$$$du=\left(\frac{t}{50}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{50}$$$ (步骤见»)，并有$$$dt = 50 du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{50}} d t}}} = {\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=50$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$50 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 50 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{t}{50}$$$:

$$50 e^{{\color{red}{u}}} = 50 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{50}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt = 50 e^{\frac{t}{50}} + C$$$A