Intégrale de $$$e^{\frac{t}{50}}$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt$$$.

Soit $$$u=\frac{t}{50}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{t}{50}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{50}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = 50 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{50}} d t}}} = {\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=50$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$50 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 50 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{t}{50}$$$ :

$$50 e^{{\color{red}{u}}} = 50 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{50}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt = 50 e^{\frac{t}{50}} + C$$$A