$$$e^{\frac{t}{50}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{t}{50}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{t}{50}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{50}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = 50 du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{50}} d t}}} = {\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=50$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$50 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 50 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{t}{50}$$$:

$$50 e^{{\color{red}{u}}} = 50 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{50}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt = 50 e^{\frac{t}{50}} + C$$$A