Ολοκλήρωμα του $$$e^{\frac{t}{50}}$$$

Βρείτε $$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt$$$.

Έστω $$$u=\frac{t}{50}$$$.

Τότε $$$du=\left(\frac{t}{50}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{50}$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dt = 50 du$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{t}{50}} d t}}} = {\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=50$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{50 e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$50 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 50 {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\frac{t}{50}$$$:

$$50 e^{{\color{red}{u}}} = 50 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{50}\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{e^{\frac{t}{50}} d t} = 50 e^{\frac{t}{50}}+C$$

$$$\int e^{\frac{t}{50}}\, dt = 50 e^{\frac{t}{50}} + C$$$A