$$$3 x - y$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \left(3 x - y\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(3 x - y\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{3 x d x} - \int{y d x}\right)}}$$

配合 $$$c=y$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{3 x d x} - {\color{red}{\int{y d x}}} = \int{3 x d x} - {\color{red}{x y}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：

$$- x y + {\color{red}{\int{3 x d x}}} = - x y + {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：

$$- x y + 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=- x y + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x y + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{3 x^{2}}{2} - x y$$

化簡：

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(3 x - y\right)\, dx = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2} + C$$$A