$$$3 x - y$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(3 x - y\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(3 x - y\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{3 x d x} - \int{y d x}\right)}}$$

$$$c=y$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{3 x d x} - {\color{red}{\int{y d x}}} = \int{3 x d x} - {\color{red}{x y}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$- x y + {\color{red}{\int{3 x d x}}} = - x y + {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- x y + 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=- x y + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- x y + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{3 x^{2}}{2} - x y$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(3 x - y\right)d x} = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2}+C$$

$$$\int \left(3 x - y\right)\, dx = \frac{x \left(3 x - 2 y\right)}{2} + C$$$A