$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$。

令 $$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

積分可以改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$：

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A