$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$.

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A