$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$。

设$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$。

则$$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

利用恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假设$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回忆一下 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A