Integralen av $$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$.

Låt $$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ vara.

Då $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (stegen kan ses »).

Det följer också att $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$.

Alltså,

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

Använd identiteten $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Om vi antar att $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, erhåller vi följande:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, du = c u$$$ med $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Kom ihåg att $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A