$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

恒等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A