Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$.

Soit $$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$.

Alors $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$.

L’intégrande devient

$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

Utilisez l'identité $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

En supposant que $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(x \right)} + C$$$A