$$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

將被積函數改寫為以餘割函數表示:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A