$$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

被積分関数を余割関数を用いて書き換えなさい:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

$$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ の不定積分は $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A