Integralen av $$$\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx$$$.

Låt $$$u=2 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

Skriv om integranden i termer av kosekanten:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

Integralen av $$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ är $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

Kom ihåg att $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\, dx = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A