$$$\frac{8 x}{4 x^{2} - 5}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{8 x}{4 x^{2} - 5}\, dx$$$。

令 $$$u=4 x^{2} - 5$$$。

則 $$$du=\left(4 x^{2} - 5\right)^{\prime }dx = 8 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{8}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=4 x^{2} - 5$$$：

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(4 x^{2} - 5\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x} = \ln{\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x} = \ln{\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{8 x}{4 x^{2} - 5}\, dx = \ln\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right|\right) + C$$$A