Integralen av $$$\frac{8 x}{4 x^{2} - 5}$$$

Bestäm $$$\int \frac{8 x}{4 x^{2} - 5}\, dx$$$.

Låt $$$u=4 x^{2} - 5$$$ vara.

Då $$$du=\left(4 x^{2} - 5\right)^{\prime }dx = 8 x dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$x dx = \frac{du}{8}$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=4 x^{2} - 5$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(4 x^{2} - 5\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x} = \ln{\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{8 x}{4 x^{2} - 5} d x} = \ln{\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{8 x}{4 x^{2} - 5}\, dx = \ln\left(\left|{4 x^{2} - 5}\right|\right) + C$$$A