$$$220 e^{\frac{x}{10}}$$$ 的積分

求$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=220$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}}$$$：

$${\color{red}{\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x}}} = {\color{red}{\left(220 \int{e^{\frac{x}{10}} d x}\right)}}$$

令 $$$u=\frac{x}{10}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{10}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{10}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 10 du$$$。

所以，

$$220 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{10}} d x}}} = 220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=10$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}} = 220 {\color{red}{\left(10 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2200 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2200 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{10}$$$：

$$2200 e^{{\color{red}{u}}} = 2200 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{10}\right)}}}$$

因此，

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}$$

加上積分常數：

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}+C$$

$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx = 2200 e^{\frac{x}{10}} + C$$$A