Intégrale de $$$220 e^{\frac{x}{10}}$$$

Déterminez $$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=220$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}}$$$ :

$${\color{red}{\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x}}} = {\color{red}{\left(220 \int{e^{\frac{x}{10}} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{x}{10}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{10}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{10}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 10 du$$$.

Ainsi,

$$220 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{10}} d x}}} = 220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=10$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}} = 220 {\color{red}{\left(10 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$2200 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2200 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{10}$$$ :

$$2200 e^{{\color{red}{u}}} = 2200 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{10}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}+C$$

$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx = 2200 e^{\frac{x}{10}} + C$$$A