$$$220 e^{\frac{x}{10}}$$$ 的积分

求$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx$$$。

对 $$$c=220$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x}}} = {\color{red}{\left(220 \int{e^{\frac{x}{10}} d x}\right)}}$$

设$$$u=\frac{x}{10}$$$。

则$$$du=\left(\frac{x}{10}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{10}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = 10 du$$$。

该积分可以改写为

$$220 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{10}} d x}}} = 220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}}$$

对 $$$c=10$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}} = 220 {\color{red}{\left(10 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$2200 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2200 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=\frac{x}{10}$$$:

$$2200 e^{{\color{red}{u}}} = 2200 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{10}\right)}}}$$

因此，

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}$$

加上积分常数：

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}+C$$

$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx = 2200 e^{\frac{x}{10}} + C$$$A