$$$220 e^{\frac{x}{10}}$$$の積分

$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=220$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x}}} = {\color{red}{\left(220 \int{e^{\frac{x}{10}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{10}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{10}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{10}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 10 du$$$ となります。

したがって、

$$220 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{10}} d x}}} = 220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=10$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$220 {\color{red}{\int{10 e^{u} d u}}} = 220 {\color{red}{\left(10 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$2200 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2200 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{10}$$$:

$$2200 e^{{\color{red}{u}}} = 2200 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{10}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}$$

積分定数を加える:

$$\int{220 e^{\frac{x}{10}} d x} = 2200 e^{\frac{x}{10}}+C$$

$$$\int 220 e^{\frac{x}{10}}\, dx = 2200 e^{\frac{x}{10}} + C$$$A