$$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx$$$。

令 $$$u=\sqrt{x}$$$。

則 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=\sqrt{x}$$$：

$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \sin{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + C$$$A