$$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}$$$の積分

$$$\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \sin{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + C$$$A