$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 2 & 1\\1 & \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 1\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2} & 1\\1 & 1 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011250105$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\approx 2.618033988749895$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.