Nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Mulailah dengan membentuk matriks baru dengan mengurangkan $$$\lambda$$$ dari entri-entri diagonal matriks yang diberikan: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Determinan matriks yang diperoleh adalah $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator determinan).

Selesaikan persamaan $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0$$$.

Akar-akarnya adalah $$$\lambda_{1} = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat penyelesai persamaan).

Ini adalah nilai-nilai eigen.

Selanjutnya, cari vektor eigen.

• $$$\lambda = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 2 & 1\\1 & \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 1\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

• $$$\lambda = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2} & 1\\1 & 1 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2}\end{array}\right]$$$

  Ruang nol dari matriks ini adalah $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator ruang nol).

  Ini adalah vektor eigen.

Nilai eigen: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011250105$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Nilai eigen: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\approx 2.618033988749895$$$A, kelipatan: $$$1$$$A, vektor eigen: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.