|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eigenwaarden en eigenvectoren van $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$
Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor de karakteristieke polynoom
Uw invoer
Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$.
Oplossing
Begin met het vormen van een nieuwe matrix door $$$\lambda$$$ af te trekken van de diagonaalelementen van de gegeven matrix: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.
De determinant van de verkregen matrix is $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1$$$ (voor de stappen, zie determinantencalculator).
Los de vergelijking $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0$$$ op.
De wortels zijn $$$\lambda_{1} = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$ (voor de stappen, zie vergelijkingsoplosser).
Dit zijn de eigenwaarden.
Bepaal vervolgens de eigenvectoren.
$$$\lambda = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 2 & 1\\1 & \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 1\end{array}\right]$$$
De nulruimte van deze matrix is $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (voor de stappen, zie nulruimte-calculator).
Dit is de eigenvector.
$$$\lambda = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2} & 1\\1 & 1 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2}\end{array}\right]$$$
De nulruimte van deze matrix is $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (voor de stappen, zie nulruimte-calculator).
Dit is de eigenvector.
Antwoord
Eigenwaarde: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011250105$$$A, multipliciteit: $$$1$$$A, eigenvectoren: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.
Eigenwaarde: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\approx 2.618033988749895$$$A, multipliciteit: $$$1$$$A, eigenvectoren: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.