Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Halla los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Empiece formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ a los elementos de la diagonal de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

El determinante de la matriz obtenida es $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de determinantes).

Resuelve la ecuación $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0$$$.

Las raíces son $$$\lambda_{1} = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$ (para ver los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).

Estos son los valores propios.

A continuación, encuentra los vectores propios.

• $$$\lambda = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 2 & 1\\1 & \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 1\end{array}\right]$$$

  El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

• $$$\lambda = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2} & 1\\1 & 1 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2}\end{array}\right]$$$

  El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

Valor propio: $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011250105$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Valor propio: $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\approx 2.618033988749895$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.