Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

• $$$\lambda = - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 2 & 1\\1 & \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} + 1\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

• $$$\lambda = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}2 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2} & 1\\1 & 1 - \frac{\sqrt{5} + 3}{2}\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

Valeur propre : $$$- \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011250105$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\approx 2.618033988749895$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}1.618033988749895\\1\end{array}\right]$$$A.