Integral de $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ em relação a $$$x$$$

Encontre $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Seja $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Então $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dx = y du$$$.

Portanto,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=y$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Portanto,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A