Integral de $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ con respecto a $$$x$$$

Halla $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Sea $$$u=\frac{x}{y}$$$.

Entonces $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$dx = y du$$$.

La integral puede reescribirse como

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Aplica la regla del factor constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=y$$$ y $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

La integral de la función exponencial es $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Recordemos que $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Por lo tanto,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Añade la constante de integración:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A