Integralen av $$$e^{\frac{x}{y}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{x}{y}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = y du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=y$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{x}{y}$$$:

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A