$$$e^{\frac{x}{y}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{y}$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{y}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{y}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = y du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{y}} d x}}} = {\color{red}{\int{y e^{u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=y$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{y e^{u} d u}}} = {\color{red}{y \int{e^{u} d u}}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = y {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{y}$$$：

$$y e^{{\color{red}{u}}} = y e^{{\color{red}{\frac{x}{y}}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{\frac{x}{y}} d x} = y e^{\frac{x}{y}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{y}}\, dx = y e^{\frac{x}{y}} + C$$$A